Re¹ena Poenkarova hipoteza

[Darker]

    
Zagonetka matematièke zagonetke
Neuhvatljivi dokazivaè
Grigorij Jakovljeviè Pereljman re¹io Poenkareovu pretpostavku, jednu od sedam najte¾ih, odbiv¹i presti¾nu nagradu i veliki novac

Odgonetnuta je gotovo vek nedokuèiva matematièka zagonetka, i iznova zaogrnuta tajnom. Isprva se tragalo za neuhvatljivim dokazom, sada za neuhvatljivim dokazivaèem.

U novom zame¹ateljstvu – namerno ili nenamerno – glavni junak je tajanstveni Grigorij Jakovljeviè Pereljman, odmila zvani Gri¹a, koji nije nedavno otputovao u Madrid na uruèenje Fildsove medalje, svojevrsne Nobelove nagrade u matematici.

Ostaloj trojici (Andrej Okunkov, Terens Tao i Vendelin Verner) krajem avgusta predata su priznanja na sveèanom otvaranju Meðunarodnog kongresa matematièara kojem je predsedavao ¹panski kralj Huan Karlos. Nikad se nije dogodilo da neko odbije prvu poèast, ¹to je ceo sluèaj obogatilo svakojakim nagaðanjima u glasilima, iako najmanje osporavanjem zasluga.

Nasuprot tome, dodela odlièja s likom Alfreda Nobela, najvi¹e i¹èekivana svake godine meðu nauènicima, izostala je ¹est puta: dvaput su ga se odrekli slavodobitnici, èetiri puta su ih zemlje iz kojih dolaze spreèile da otputuju u Stokholm.

Lopta, cigara i zeèja glava

Predsednik Meðunarodnog matematièkog udru¾enja D¾on Bol izjavio je pre saop¹tavanja dobitnika da nije jasno ¹ta bi se moglo desiti s novcem i kolajnom ukoliko se slavodobitnik ne pojavi.

Ruski osamljenik re¹io je, naime, èuvenu pretpostavku francuskog matematièara, fizièara i filozofa ®ila Anrija Poenkarea iz 1904. godine, i nekoliko stotina stranica izraèunavanja obznanio u tri navrata na internetu 2002. i 2003. I nijednom u nekom nauènom èasopisu, kako je decenijama uobièajeno. Jo¹ jedna zaèkoljica pomisliæete i neæete su suvi¹e udaljiti od istine.

U najkraæem, zamisao se sastoji u opisivanju trodimenzionalnih povr¹i u èetvorodimenzionalnom prostoru.

Naizgled jednostavna, ona oznaèava da lopta (sfera) s dvodimenzionalnom povr¹inom (kao sve u na¹em svakodnevnom iskustvu) ima su¹tinsku odliku da se èvor na omèi oko ma koje taèke mo¾e razvuæi do pojedinaène taèke, a da se ne prekine nit ili ne preseèe dotièni geometrijski oblik. Nasuprot tome, torusi (a to je svaki ðevrek koji u slast pojedete) nema takvo svojstvo.

Za dvodimenzionalnu je odgovor dao sam Anri Poenkare iste godine, pretpostaviv¹i da slièna tvrdnja va¾i i za sfere s trodimenzionalnom povr¹inom ili skup taèaka u èetvorodimenzionalnom prostoru koji se nalazi na podjednakom rastojanju od sredi¹ta – date taèke u tom prostoru. Ispostavilo se da je to toliko glavobolno da je odolelo domi¹ljatosti mno¹tva uglednih matematièara.

Pomenuta hipoteza je veoma bitna za topologiju, matematièku granu koja izuèava oblike, ponekad nazivanu geometrija bez pojedinosti. Za topologa su lopta, cigara i zeèja glava isto, jer ih mo¾ete preobraziti (preoblikovati), poput maðionièara, jedne u druge. Na isti naèin su istovetne ¹olja za kafu ili ðevrek, mada nemaju nièeg zajednièkog s prethodnim oblicima.

Drugim reèima, ukazuje se da sve ¹to nema ¹upljinu mo¾e da bude lopta, uz jedno ogranièenje – mora biti zbijeno ili zatvoreno, ¹to znaèi konaènog obima.

Iako zamisao veoma uèenog Francuza obuhvata ma koji konaèan broj dimenzija, pokazalo se da je najte¾e dokaziva za tri. ©ezdesetih godina potkrepljeno je da je taèna za pet i vi¹e dimenzija, za prvi sluèaj veoma mukotrpno (Stiven Smejl, sada y „Tojotinom” tehnolo¹kom institutu u Èikagu). Dve decenije kasnije istinitost je potvrðena i za èetiri dimenzije (Majkl Fridman koji je danas zaposlen u „Majkrosoftu”).

Neæe milion, bere peèurke

Najtvrði orah s tri dimenzije slomio je Grigorij Jakovljeviè Pereljman, zato je to u matematièkom svetu odjeknulo kao grom iz vedra neba. Koristio je postupak poznat pod imenom Rièijev tok, koji je osamdesetih godina predlo¾io Rièard Hamilton sa Kolumbija univerziteta, da za svaki oblik geometrijskog prostora postoji pravilo (formula) koje odreðuje razdaljinu izmeðu ma kojeg para bliskih taèaka.

Zastoj je nastao kada je ovo saznanje trebalo primeniti na èvorovima, pletenicama i svakojakim uvijenim oblicima. Èini se da je izlaz iz æorsokaka, ne dr¾eæi se Arijadnine niti, prona¹ao samotnjak iz Sankt Peterburga (roðen 1966), koji je s najvi¹im skorom zablistao na Matematièkoj olimpijadi 1982, potom odbranio doktorat i na kraju se zaposlio u èuvenom Institutu za matematiku „Steklov” u rodnom gradu. S nekoliko stipendija za posledoktorsko usavr¹avanje ranih devedesetih se otisnuo u SAD, boravio na nekoliko univerziteta i zadivio sve uèenjake kao da je „stigao s druge planete”, veoma stidljiv, ljubazan i nimalo sklon materijalnom blagostanju.

Uprkos primamljivim ponudama da ostane, u Rusiju se vratio 1995. ili 1996. godine. Krajem 2002. i poèetkom 2003. izazvao je ogromno uzbuðenje meðu bratijom obelodaniv¹i na internetu nekoliko stotina stranica dokaza u kojima je potvrdio hipotezu ®ila Anrija Poenkarea za trodimenzionalne sfere. Nije ¾eleo da objavi èlanak ni u jednom uglednom èasopisu, prepustiv¹i svima koji sebe smatraju upuæenim i ve¹tim da do mile volje proveravaju nalaze.

Posle toga je napustio posao, prezrev¹i slavu i novac, potpuno se osamio. Sluèajni prolaznici ga povremeno sreæu na dugim ¹etnjama ¹umama u okolini Sankt Peterburga kako sakuplja peèurke. Sredinom avgusta u potragu za neuhvatljivim dokazivaèem neuhvatljive zagonetke krenuli su uporni novinari britanskog lista „Sandej telegraf”. Imali su sreæe da ga jednom doprate do stana u kojem ¾ivi s majkom i da mu iscede ¹krtu izjavu da „ne smatra da i¹ta ¹to ka¾e mo¾e biti od javnog interesa”, jer je svoje proraèune veæ objavio.

Èuveni Klejov institut za matematiku iz Kembrid¾a (SAD) na poèetku 2000. ponudio je po milion dolara za svaki od sedam nerazja¹njenih matematièkih izazova, meðu koje je, svakako, uvr¹æena Poenkareova pretpostavka. Sreæni dobitnik ne sme da bude stariji od 40 godina.

Grigorij Gri¹a Pereljman je, po svemu sudeæi, i to odbio, zbog èega na Zapadu ne prestaju da se i¹èuðuju.

Stanko Stojiljkoviæ
[objavljeno: 10.09.2006.] Politika

[Darker]

    
Veliki doprinos geometriji

Poenkareova hipoteza odnosi se na jednu dosta oèiglednu osobinu sfere. Naime, pretpostavimo da imamo elastiènu traku na sferi koja sadr¾i njen ekvator i uzmimo da traka klizi po sferi prema njenom polu, istovremeno se skupljajuæi bez kidanja. Vidimo da se traka na ovaj naèin na kraju skupila u jednu taèku.

Zamislimo isti eksperiment za torus, povr¹ koja nastaje rotacijom kru¾nice u prostoru oko ose koja ne preseca tu kru¾nicu (na primer, ðevrek ima oblik torusa). Ako je traka obmotana oko tela torusa i da bilo kako klizi po njegovoj povr¹ini, vidimo da se traka ne mo¾e skupiti u taèku. Imajuæi u vidu prethodne osobine sfere i torusa, ka¾emo da je sfera prosto povezana povr¹ dok to torus nije.

Matematièari uvek vole da postavljaju obrnuta pitanja. U ovom sluèaju pitanje je: Ako neka povr¹ jeste prosto povezana, da li je ona u osnovi sfera? Reèeno matematièkim reènikom: Da li je homeomorfna sferi? Na primer, elipsoid je homeomorfan sferi, jer se neprekidnom deformacijom mo¾e prevesti u sferu.

Za obiènu, dvodimenzionalnu sferu pozitivan odgovor je dao veæ Poenkare 1904. Istovremeno je postavio pitanje da li slièno tvrðenje va¾i i za trodimenzionalne sfere (3-D sfere), skup taèaka u èetvorodimenzionalnom prostoru koji se nalazi na jediniènom rastojanju od centra – date taèke u tom prostoru. Trodimenzionalne sfere imaju analogne osobine obiènoj sferi: na primer, kao ¹to je svaki pravi presek obiène sfere sa ravni kru¾nica, tako je presek trodimenzionalne s hiperravni (geometrijski objekat u èetvorodimenzionalnom prostoru, analogon obiènoj ravni) dvodimenziona sfera.

Pokazalo se da je to pitanje ekstremno te¹ko i odolevalo je napadima velikog broja matematièara sve do Pereljmanovog re¹enja. Ovde moramo spomenuti jedan èudan fenomen. Naime, Poenkareov problem ima oèiglednu generalizaciju na proizvoljne konaène dimenzije. Oèekivalo bi se da je na to pitanje u sluèaju vi¹ih dimenzija te¾e odgovoriti. Ispostavilo se da nije tako.

Naime, ¹ezdesetih godina pro¹log veka Staling, Ziman i Smejl dokazali su da je Poenkareova hipoteza taèna za dimenzije sfere veæe od 4. Tek dvadeset godina kasnije, M. H. Fridman je dokazao istinitost Poenkareove hipoteze i u sluèaju 4-D sfera. Poenkareov problem je tipièan zadatak teorije topolo¹kih prostora niske dimenzije i deo je ¹ireg programa, opisa trodimenzionalnih povr¹i (3-vi¹e­stru­kosti) u èetvorodimenzionom prostoru.

Postavljena je pretpostavka (Terstonova hipoteza, izreèena sedamdesetih) da se svaka 3-vi¹estrukost mo¾e dobiti na uniforman naèin od dvodimenzionih sfera i torusa, dakle geometrijskih objekata jednostavne prirode. Preciznije, da postoji taèno osam takvih prostopovezanih homogenih prostora koji imaju konaèan volumen. Prvi od tih prostora je 3-D sfera i taj deo Terstonove hipoteze odnosi se na Poenkareov zadatak.

Grigorij Pereljman je dokazao taènost Terstonove hipoteze, time i partikularnu, Poenkareovu hipotezu, i zato dobio Fildsovu medalju. Ovo re¹enje predstavlja veliki doprinos boljem razumevanju strukture geometrijskih objekata, takoðe se mogu oèekivati primene u drugim naukama, na primer u teorijskoj fizici i kosmologiji.

prof. dr ®arko Mijajloviæ

* Profesor Matematièkog fakulteta u Beogradu


[objavljeno: 09.09.2006.] Politika